Droht Person B damit eventuell sogar postwendend Beitrag für seine Privatwohnung?
Sehr wahrscheinlich ja.
Sollte Person B den Betrieb ordnungsgemäß anmelden und kann Person B dabei die Beitragsnummer von Person A (Vater, der Beitrag zahlt) angeben? Somit wäre der Betrieb auch beitragsbefreit.
Wäre wohl möglich.
Wenn Person B eine neue 
Betriebsstätte in einer noch 
nicht angemeldeten Wohnung anmelden würde, würde
- zwar die 
Betriebsstätte (ansonsten 1/3-Beitrag) 
"beitragsfrei" sein,
- allerdings würde für die 
noch nicht angemeldete Wohnung ein 
kompletter Betrag fällig werden.
Möglicherweise irrt sich ja aber Person B, und die von ihr bewohnte 
Wohnung mit der neuen Betriebsstätte ist gar 
keine "eigenständige Wohnung im Sinne des Rundfunkbeitragsstaatsvertrags"...? 

Aus der nunmehr fast vierjährigen Praxis ist ohnehin zu erkennen, dass der 
Status der Wohnungen offenbar 
überhaupt nicht nachgeprüft wird. Wie auch?!? Dies würde in mindestens gleichen Konflikt mit dem Schutz der Persönlichkeitsrechte geraten wie die frühere Überprüfung, ob Geräte zum Empfang bereitgehalten werden.
Ein sehr guter Artikel, der dies beleuchtet u.a. unter
Kay E. Winkler
Der Rundfunkbeitrag im Konflikt mit der VerfassungKommunikation & Recht (K&R) 2016, 478 (Heft 07-08)
siehe u.a. auch unter
Der Rundfunkbeitrag im Konflikt mit der Verfassunghttp://gez-boykott.de/Forum/index.php/topic,19744.0.htmlDort dann insbesondere die Auszüge zur
"verwaltungspraktischen Untauglichkeit der Anküpfung an die Wohnung" unter
http://gez-boykott.de/Forum/index.php/topic,19744.msg129359.html#msg129359Deutliche Hinweise dafür, dass 
den Angaben der Befragten einfach nur Glauben geschenkt wird, die Angaben aber 
nicht nachgeprüft werden, finden sich u.a. auch in diesem Kurzbericht von einer fiktiven Verhandlung wegen einer unzulässigen Beitragserhebung für ein Zimmer in einem Wohnhaus...
bisher Kontakt/Vollstr. an Nebenwohnsitz > jetzt erst Kontakt an Hauptadressehttp://gez-boykott.de/Forum/index.php/topic,18173.msg125960.html#msg125960...in welcher 
den Ausführungen des vermeintlichen Beitragsschuldners Glauben geschenkt wurde, ohne diese auch nur ansatzweise zu überprüfen.
[...]
Nach Schilderung, wo sich das Zimmer befindet...
[...]
...stellte der Richter fest, dass dieses "Zimmer" keine Wohnung im Sinne der Vorgaben des RBStV sei. [...]
Auf eine Beweisaufnahme vor Ort wurde durch die Beklagte abgesehen, der Richter fragte diese aber, ob sie eine solche Beweisaufnahme möchte. -> Die Gegenseite hob die Bescheide auf und erklärte die Übernahme aller Kosten. (Der Richter hat das entsprechend angeregt, dann war die Sache vorbei) [...]
Fiktive Person B könnte also - zumal sie ja den 
Betrieb von Person A übernommen hat - wohl durchaus die 
von Person A (und wohl auch von Person B mit-)genutzte Wohnung als 
Ort der Betriebsstätte angeben.
JEDOCH... 
Um den Aufwand für ARD-ZDF-GEZ nicht unnötig gering zu halten, könnte Person B durchaus auch noch abwarten bis ihr irgendwann einmal ein 
Bescheid für die Betriebsstätte zugesendet wird.
Gegen diesen könnte sie 
Widerspruch einlegen - kurz und unbegründet, mit Ankündigung einer ausführlichen Begründung in einem gesonderten Schriftsatz. Mit diesem Prozedere könnten noch 
Monate ins Land gehen. Zu beobachten bliebe derweil u.a. auch, wie sich die 
am BVerwG anhängigen, augenscheinlich aber noch nicht verhandelten Klagen gegen die sog. "Betriebsstättenabgabe" entwickeln.
Normal denkenden Menschen leuchtet es jedenfalls nicht ein, dass für eine Betriebsstätte überhaupt "Rundfunkbeiträge" pauschal und ohne jeglichen Nutzungszusammenhang zu entrichten seien.
Ob Person B dann am Ende sogar noch gegen die Betriebsstättenabgabe klagt, könnte sie sich bis zum letzten Augenblick überlegen. Dafür bleibt noch genug Zeit. Und selbst wenn sie nicht vorhätte, zu klagen, so könnte sie dennoch den Widerspruch einlegen, ausführlich begründen, ARD-ZDF-GEZ sich die Zähne daran ausbeißen lassen - und am Ende die "Niete" platzen lassen und sagen:
"Pech gehabt - es besteht ja gar kein Rechtsgrund für die Forderung, da sich die Betriebstätte in der Wohnung von Person A befindet, für welche ja bereits bezahlt wird."Alle Angaben ohne Gewähr. Keine Rechtsberatung.
Für den regulären Rechtsweg bitte unbedingt noch generell eingehend einlesen, verinnerlichen und versuchen, das Konstrukt & Prozedere zu verstehen 
"Schnelleinstieg"Zu allererst bitte hier lesen! Schnelleinstieg, "Erste Hilfe", Hinweise...
http://gez-boykott.de/Forum/index.php/topic,12292.0.htmlDa Mehrfachdiskussionen bereits ausgiebig behandelter Themen aus Kapazitätsgründen und aus Gründen der Übersicht im Forum nicht vorgesehen sind, hier bitte keine diesbezüglichen allgemeinen Fragen, sondern allenfalls spezielle Fragen zu etwaigen Besonderheiten des hiesigen fiktiven Falls.
Danke für das Verständnis und die Berücksichtigung.