Für seine Post nutzt der BS den Service PremiumAddress (oder so ähnlich). Dadurch erfährt er die im Nachsendeantrag angegebene Adresse und kann die dann direkt anschreiben.
Für die am 1.1.14 bezogene Wohnung wird er bis zum Tag der Abmeldung Beiträge verlangen.
Der BS dürfte die Adresse in der Tat auf diesem Wege erfahren haben. Die verschiedenen Optionen im Rahmen von "Premiumadress" (premiumadress.de) haben die früheren Vorausverfügungen abgelöst, z.B. "Falls verzogen, mit neuer Anschrift zurück" u.ä.
Es gibt allerdings die Möglichkeit, die Weitergabe der neuen Adresse auszuschließen, was in aller Regel zu empfehlen ist. So kann ich bei jedem nachgesendeten Brief selber entscheiden, ob ich dem Absender meine neue Adresse mitteilen will.
Person A wird sicherlich den meisten Absendern gerne erklären, dass und warum bei der Eltern-Adresse ein vorübergehendes Postlager eingerichtet wurde. Da die Post des Beitragsservice jedoch ignoriert wurde und wohl auch weiter ignoriert werden soll, wird es das beste sein, wenn die Eltern den Brief (Zahlungserinnerung, also kein Bescheid?) mit "verzogen, zurück an Absender" in den nächstbesten Briefkasten werfen.